Markku af Heurlin: Huhtikuisia tuumailuja ja mietelmiä

STABIILI PYÖRRE POHJOISELLA PALLONPUOLISKOLLA

Tämä pyörre on ollut hyvin stabiili ja vaikuttanut kevään ilmastoomme.  Sen toinen keskus on Novaja Zemljan kohdalla näin näyttäen meille tietä kohti avautuvaa Koillisväylää. Olen aiemmin esittänyt, että on mielekkäintä ja edullisinta rakentaa Jäämeren raideyhteys Sallan ja Kantalahden kautta Murmanskiin. Tunturi-Lapin kautta kulkeva Kirkkoniemen rata olisi aivan liian kallis ja hankala ylläpitää.

Tapahtumat Venäjällä ja Ukrainassa ovat panneet uudestaan ajattelemaan asiaa Mutta sitten totesin mielessäni: Jos kerran voimme hyvällä omallatunnolla ja rauhallisin mielin sekä PHK-ryhmän (Putinin Hyvät Kaverit) suosiollisella avustuksella panna toimeksi, niinpä ei tämäkään sen huonompi ajatus ole. Semminkin, kun liikenne Koillisväylää myöten kulkee Venäjän merirajaa pitkin, ja Kirkkoniemeen on hyvä maantieyhteys.  Kaupungissa muuten katujen nimikyltit ovat sekä norjaksi että venäjäksi.

HIEMAN LASKUOPILLISTA AIVOJUMPPAA

Matematiikan ylioppilastehtävät antavat aina vähän pohdiskeltavaa. Useat pystyy ratkaisemaan suunnilleen keski- tai peruskoulun tiedoilla ja ilman laskinta, vain kynällä ja paperilla, kun hieman käyttää hoksottimiaan.
Otan muutaman esimerkiksi.
Tehtävät löytyvät ylen sivuilta https://drive.google.com/file/d/0B8Ec8LLK7gzHS0pkeXpDMG9XaE0/view
Ensimmäiset neljä tehtävää pitää laskea ilman laskinta., mikä on hyvä asia. Laskin on käytännöllinen, mutta se tekee meidät helposti laikoiksi ja avuttomiksi lukujen suhteen. Ja lukujen kanssa ihminen joutuu aivan liian paljon tekemisiin. Matemaatikot yrittävät välttää sitä.

- Ratkaise yhtälö 2x² − 7x – 4 = 0.

Toisen asteen yhtälö, jolle nyt etsimme ratkaisua kokeilemalla. Kysytään siis yhtälön vasemmalla puolella olevan polynomifunktion kahta nollakohta. Seuraavat neuvot auttavat: Jos toisen asteen kokonaislukukertoimisen yhtälön ratkaisu on kokonais- tai murtoluku, niin sen ratkaisun osoittaja on vakiotermin jakaja, siis joku luvuista +/- 1,+/2 tai +/-4. ja nimittäjä 2. asteen kertoimen jakaja siis 1 tai 2. Totean vielä, että kokonaisluku on erikoistapaus murtoluvusta – 4 =  -4/1.
Ensin katsomme polynomin arvon pisteessä x = 0: se on  -4. Siis yhtälöllä on kaksi erimerkkistä ratkaisua. Kokeilemalla arvoja 1 ja 2 saadaan vastaavasti arvoiksi -9 ja -10. Seuraavaksi kokeillaan lukua 4, arvoksi tulee 0. 4 siis on toinen ratkaisu. – Toinen ratkaisu on helppo löytää, ja annan lukijalle löytäjän ilon.

Logaritmi voidaan määritellä erilaisilla kantaluvuilla. Määritelmän mukaan log_a x = b,  jos x = a^b

Tälle a-kantaiselle logaritmille pätee kaava                                log_a x = ln x /lna..

a) Olkoot x > 0 ja y > 0. Ratkaise y yhtälöstä     log₄ y = log₂ x.

b) Suorat x = 2, x = 3 ja y = 0 rajaavat yhdessä a-kohdan käyrän kanssa erään tasokuvion. Hahmottele tämä kuvio ja laske sen pinta-ala.
Esimerkkinä  log₂ 16 = 4 , sillä 2⁴ ₌ 16.

Tässä tehtävässä emme anna ilmaisun ln (logarithmus naturalis, luonnollinen logaritmi) hämätä itseämme. Luonnollisen logaritmin ja lukiosta hämärästi muistamamme tavallisen 10-kantaisen eli Briggsin logaritmin lg x tai vain logo x välillä on yhteys l x = 2,302585 x LG x, jossa kerroin on ns. Briggsin luku. Se on irrationaaliluku ja tuo 2,302585 on vain sen likiarvo.

Luonnollisia logaritmeja käytetään lähinnä puhtaassa matematiikassa. 10-kantaiset logaritmit vuorostaan soveltuvat paremmin käytännön sovelluksiin. koska lg 10 = 1, lg 100 = 2 jne. Logaritminen asteikko. siis asteikko jossa mittaluku on suhteutettu esim. äänen intensiteetin (teho /m2) logaritmiin on aika yleinen. Sellaisia ovat pH, desibeli ja myös maanjäristyksiä kuvaava Richterin asteikko. Nykyään puhutan magnitudeista viimeksi mainittujen kohdalla.

Desibelit: aina kun äänen voimakkuus desibeleinä kasvaa yhdellä, niin sen intensiteetti (teho /m2) kasvaa kymmenkertaiseksi. Tämä on hyvä pitää mielessä.

Vähän kovaäänisempi puhe on 60 dB. Rock-konsertissa päästään helposti yli 90: n. Intensiteetti on 1000-kertainen.

Sitten laadimme taulukon.

log₂ x                  x                           log₄ y                  y

   0                        1                             0                         1

    1                       2                             1                         4

    2                       4                             2                         16

  -1       ½             -1                        ¼

Tästä lukija voikin päätellä funktion y = f(x) muodon ja piirtämällä kuvion ratkaista b-kohdan likimäärin, oikeastaan varsin hyvällä tarkkuudella. Tarkka arvo edellyttäisi funktion y = f(x) integrointia, jota me nyt emme harrasta. (Tarkka ratkaisu on 19/3.)

Loppupään tehtäviä

12. Tämä tehtävä näyttää vaikeammalta kuin mitä se on. Pythagoraan lauseella voidaan heti todeta, että kyseessä on…Siis mikä kolmio onkaan kyseessä? Loppu on helppoa.

Neliöiden N₁, N₂ ja N₃ pinta-alojen suhde on 9 : 2 : 11. Kolmion K yhtenä sivuna on neliön N₁ sivu, toisena sivuna neliön N₂ sivu ja kolmantena sivuna neliön N₃ sivu. Laske kolmion K ja neliön N₂ pinta-alojen suhteen tarkka arvo.
Kerron vastauksen, mutta tehtävän ratkaisu prosessi jolla se löydetään: 3Ö2:2  =  3/Ö2 . Tulkintakysymys, kumpaa muotoa pitää elegantimpana.

13. Tehtävässä esitetään ns. topologin sinikäyrän y = sin 1/x kuvaaja. Hyvin viehättävä käyrä. (Sääli että en voi kopioida sitä tähän). Funktion arvoa ei ole määritelty eikä voida määritellä x:n arvolla 0, sillä 0:n lähellä sin 1/x saa kaikki arvot -1 :n ja 1:n väliltä äärettömän monta kertaa.

Funktiot sin x ja sin 1/x voidaan laajentaa kompleksistasoon, Siinä ne saavuttavat kaikki kompleksiarvot, myös reaalilukuarvot – äärettömästä äärettömään.
Kompleksitasossa muuttujaa merkitään yleensä, ei aina, z:lla. Funktiolle sin (1/z) piste  z = 0  on singulariteetti eli erikoispiste, vieläpä oleellinen erikoispiste. Erikoispisteessä funktio, esim. 1/z saavuttaa äärettömän suuren arvon. Oleellisen erikoispisteen lähellä aina kaikki kompleksiarvot, (mahdollisesti yhtä lukuun ottamatta).

Fysiikassa erimerkkinä singulariteetista on musta aukko. Fiinimmässä ilmaisussa puhutaankin singulariteeteista, mutta tämä eloisa ilmaus on saavuttanut vakaan aseman. Nyt mustia hyvin suurella varmuudella tiedetään olevan olemassa, mm. Linnunradan keskustassa. Vielä 40 ja 20 vuotta siten asia oli epävarma.
Lukijan kannatta etsiä käsiinsä Raimo keksien ja Heikki Ojan kirja Mustaa aukkoa etsimässä. (Ursa 1977).. 

Harmoonian valtakunta

Keskiviikkoiltana 5.4. Tasavallan Presidentti tarjosi juhlaillallisen kiinalaiselle virkatoverilleen Xi Jingpingille

Itse olin Filosofiklubilla kuuntelemassa Pertti Seppälän - kiinan kääntäjän ja tuntijan – selvitystä presidentin kurinpalautuskampanjasta. Sopivasti näin osaltamme juhlistaen valtiovierailuaan.

5 - 6 vuotta sitten hallitusta – diktatorista tosin, mutta vähemmän diktatorista kuin nyt - saattoi arvostella sangen vapaasti. Jopa taksikuskit kertoivat Kiinassa Seppälälle, tuki tuntemattomalle ihmiselle, korruptiosta ja muista epäkohdista. Nyt on pantu suut suppuun. Kaikkien suurempien ja keskisuurten yritysten johtoon on asetettu puolueen edustaja valvomaan puolueen ja omaa etua. Presidentti on keskittämässä kaiken vallan itselleen ja lojaalille lähipiirilleen. Johtajaan kohdistuva henkilöpalvonta on lisääntynyt. Onko maassa kohta täydellinen diktatuuri, sen ideologina nationalismi?

Ei ehkä tosiaankaan ihan kivaa. Mutta keskustelu oli kiintoisaa ja antoisaa. 

Tämä ei estänyt Seppälää mainostamasta huhtikuun lopulla Tampereella avattavaa laajaa näyttelyä, jonka luettelon hän on osaksi kääntänyt. Kirjoittajana parhaimpia kiinalaisia asiantuntijoita Ja todella ainutlaatuisa teoksia näytteillä sekä avartava esillepano. Vapriikin näyttelyt ovat aina huippua. Meillä Helsingin kansatieteellinen museo on suljettu, mutta eihän kaiken tarvitse olla Helsingissä.

Kiinan keisarillisen hovin taideaarteita Vapriikissa Tampereella 21.4. -  1.10. 2017