Klubilaisten huomioon. Talvipäivänseisaus pe 21.12.2012 klo 13:12.

Käpylä 21.12.2012,  n. klo 13:12

URSAn korkea-arvoisten ja luotettavien selvitysten mukaan talvipäivänseisaus on perjantaina 21.12. klo 13:12. Aurinko on täältäpäin katsottuna alimmillaan Jousimiehen tähdistössä 23 astetta taivaanpallon ekvaattorin eteläpuolella. Aurinko nousee Helsingin kieppeillä keskipäivällä n. 7 asteen korkeuteen. Lapissa on pitkään melkein pimeää.

Kyläasiamies Kuisma ja voimisteluohjaaja
 af Heurlin muinaistunnelmissa 5.12.

Talven taivaallisen juhlapäivän koittaessa ja saadessa asianmukaisen kohtelun juhlapäivien seremoniallisten tekstien laatija Markku af Heurlin punnitsee ja pohdiskelee matemaattisia kysymyksiä joulunajan vapaahetkien ratoksi ja riemuksi ja laatii samalla aina tarpeellisen voimisteluohjelman myös aivoille!

   * * * *

TAHVONPÄIVÄN POSTILLA
 
Matemaattisia tehtäviä - aivojumppaa joulunajan ratoksi

Markku af Heurlin

Matematiikan ylioppilastehtävät ovat minulle mukavaa aivojumppaa. Niiden laskemien on yhtä hyödyllistä tai hyödytöntä ajankulua kuin ratkoa sudokuja, selvittää ristisanatehtäviä tai käydä punttisalilla. Eiköhän kaikenlainen harjoitus tee aina ihmiselle hyvää?

Ylioppilaskoe on kisällinnäyte. Ja ylioppilaskokelaan suoritusta arvostellaan kuten kisällinnäytettä.

Lukija joko on osoittanut hallitsevansa nämä taidot – enemmän tai vähemmän kattavasti - tai häneltä ei koskaan ole niitä edellytetty. Joten erinäiset muodot voi unohtaa ja keskittyä oleelliseen eli tehtävän jujuun.

Teen myös tehtävät ilman laskinta vain käyttäen kynää, paperia, tarvittaessa, viivainta ja harppia, jos sellainen löytyy (hyödyllien kapistus muuten). Ja taidoilla, jotka ovat päässä tai tiedoilla joita joskus muistaa vähän kuulleensa. Laskimella nopeuttaa laskemista, mutta on hyvä pitää yllä tiettyä päässälaskutaitoa. Jos ei muuten, niin sellainen antaa hieman taitoa hahmottaa lukuja tässä vuoden
jytkyhitissä, yleiseurooppalaisessa juhlalaulussa

 ”Hei rullaati, rullaati, miljardit rullaa.”

Tehtävät löytyvät mm. sivuilta

http://files.snstatic.fi/hs/2012/yo2012syksy/MATEMATIIKKA_PITKA.pdf

http://files.snstatic.fi/hs/2012/yo2012syksy/MATEMATIIKKA_LYHYT.pdf

Ratkaisut, jos niitä kaipaa, löytyvät sivultta

http://www.hs.fi/kotimaa/Yomatematiikassa+ summamerkkej%C3%A4+ja+vektorilaskentaa++teht%C3%A4v%C3%A4t+ja+rat kaisut+HSfiss%C3%A4+/a1305602242515http://files.snstatic.fi/hs/2012/yo2012syksy/MATEMAT IIKKA_PITKA.pdf

Alkupään tehtävät ovat sellaista hyvää verryttelyä,. otan vain esimerkiksi tehtävän 2.

Sievennä lausekkeet.:

a) (x + 1/x)2 – (x – 1/x) 2

Tämä voidaan myös tulkita x:n funtioksi, joka on määriteltty kaikilla nollasta poikkeavilla
muuttujan arvoilla. Parilliseksi funktioksi (f(-x) = f(x) ) sen huomaa heti siitä, että lausekkeissa
esiintyy vain parillisia potensseja. Muuttujan arvolla 1 lausekkeen arvo on 4. Ja x:n arvolla 2:
2½2 – 1½2 = 6,25 – 2,25 = 4. Vaikuttaa siltä, että lausekkeen arvo on vakio..
Ja sitten sievistelemään, ensin vähän vaikeamman kautta. Ja kun minulla ei tähän hätään ole
mitään matemtaiikkaohjelmaa, teksti tulee hieman totuttua vaikeammaksi:

(x + 1/x)2 – (x – 1/x) 2 = (x2 + 1) 2 /x2 – (x2 -1) 2 /x2
= ( ( x4 +2x2 + 1) – (x4 – 2x2 + 1)) / x2
= 4x2/x2 = 4 eli vako 4.

Supistamisen välivaihet jätin kirjoittamatta, mutta huomaamme heti että x 4 – termit supistuvat.

Ja lyhyemmän kautta kaavalla a2 – b2 = (a + b)(a - b):

(x + 1/x)2 – (x – 1/x) 2 = ((x + 1/x) + (x – 1/x)) – ((x + 1/x) – (x – 1/x)) = 2x (2/x) = 4

b) (x2 -9 ) / (x + 3) = (x + 3)(x – 3) / (x + 3) = x – 3 .
c) ln x/2 + ln (ex/x) + ln 2 = *

Emme anna ilmaisun ln (logarithmus naturalis) hämätä itseämme. Otamme suoraan
käyttöön logaritmien laskusäännön log a + log b = log(ab)

ln x/2 + ln (ex/x) + ln 2 = ln ( (x/2)(ex/x)2) = ln (2xex/2x) = ln ex = x

Logaritmin määritelmän mukaan 10 log x = x. Tai toisin päin: log 10x = x. Muutetaan vain
kantaluvuksi e eli Neperin luku, luonnollisen logaritmin kantaluku:

Neperin luvusta kerron enemmän joskus myöhemmin. Sen likiarvo on 2,718. Koko joukko
kaavoja on yksinkertaisinta esittää käyttäen tätä kantalukua, ja siksi sitä käytetään puhtaasa
matematiikassa. Sovellutussa matematiikassa vuorostaan kantalukuun 10 perustuvat ns.
Briggsin logaritmit ovat käytännöllisempiä. Polynomi-, potenssi-, juuri- ja trigonometristen
funktioiden jälkeen eksponenttifunktio ja sen käänteisfunktio logaritmi ovat tärkeimmät
sekä matematiikassa että käytännön elämässä esiintyvät funktiot.

LIEROILUA

Sitten vaikeampiin ja otan heti tehtävän15, 9 pisteen jokeritehtävän:

Suora ympyrälieriö on pallon sisällä niin, että sen molempien pohjien reunat sivuavat pallon pintaa.
Pallon pinta-alan suhdetta lieriön koko pinta-alaan merkitään symbolilla t. Lieriönkoko pinta-alalla
tarkoitetaan sen vaipan ja pohjien yhteenlaskettuja pinta-aloja.
a) Määritä lieriön korkeuden suhde lieriön pohjan säteeseen parametrin t avulla lausuttuna.
(2 p.)
Millä parametrin t arvoilla
b) tällaista lieriötä ei ole olemassa (2 p.)
c) on täsmälleen yksi tällainen lieriö (3 p.)
d) on kaksi tällaista lieriötä? (2 p.)

Tehtävä ei muutu jos annamme pallon säteen R arvoksi R = 1. Ylioppilaskokeessa tätä niksiä ei saa
käyttää. Tehtävässä nimittäin pallon säde R supistuu pois. Oleellista on pallon ja ympyrälieriön
säteiden suhde, jota merkitsen r:llä ja lieriön korkeutta h:ta x:llä. Olen niin tottunut käyttämään
kirjaimia x, y, z ja t muuttujille.

Itse asiassa monet matematiikan perustavat lauseet, mm. ns.Schwartzin lemma on esittty
näennäisesti rajoitetussa muodossa eli yksikköympyrälle.

Nähdään heti Pythagoraan lauseen avulla:

x2 = 22 – (2r) 2 = 4 – 4 r2. Laskemalla saadaan
r2 = (4 – x2)/ 4 ja r = edellisen neliöjuuri

Pallon pinta –ala on 4πR2. Jos on unohtanut kaavan, käyttää vain merkintää aπR2. Tehtävässä on
oleellista pinta-alojen suhde, joten kertoimella ei ole suurempaa väliä. π:stä haluamme ja pääsemme
eroon:

Ympyrälieriön pinta-ala = pohjien pinta-ala + vaipan pinta-ala = 2πr2 + 2πrh . Molemmat pohjat,
siksi 2 ympyrän pinta-alan kaavan edessä-

A (r, x) = 2π (r2 + rx) = 2π ((4 – x2 )/4 + √(4 – x2) / 2 · x))
t = 4π / A(x)

Huomaamme heti, että x voi saada arvot 0 < x < 2. t(x) on oleellisesti A(x):n käänteisluku

Katsomme siis, milloin lieriön pinta-ala saa maksimiarvon. Kysyttty t saa tällöin miniminsä.

Katsotaan pinta-ala kahdessa ääritapauksessa: x = 0 eli äärettömän lattea lieriö, joka muodostuu
kahdesta pohjasta A = 2πr2 = 2π . Toinen on äärettömän ohut lieriö, jonka korkeus h pallon
halkaisija x = 2R = 2 ja pinta-ala A =0. Edellisessä tapauksessa t = 4π / 2π = 2. Jälkimmäisessä
tapauksessa t = 4π / 0 = ∞, ”tulee äärettömän suureksi”.

Suurin pinta-ala saavutetaan josain tällä välillä. Arvolla x = 1 eli lieriön korkeus = pallon säde ,
saadaan pinta-alaksi = 2π (4 -1)/4 + √3/2*1 =2π( ¾ + √3/2) = 2π (0,75 +0,87)
= 2π·1,62. Ja t = 4π / 2π∙1,732 = 2/1,732 = 1,238

Harrastin hieman douppasta ja laskin excelilä, millä arvolla sulkulausekkeissa oleva arvo saa
maksimin. Arvolla 1,060 se saa arvon 1,798. Vuorostaan kysytty t (x) saa minimarvon eli 1,236.

Tarkan vastauksen, √5 - 1 eli juuri noin 1,236, löytää ylioppilastehtävien ratkaisuista

Tällä arvolla t:llä on yksi arvo eli yhtälöllä yksi ratkaisu ja on yksi t:tä vastaava lieriö. Tätä
pienemmillä t:n arvoilla ei ole ratkaiksua eli ei ole yhtään leiriötä. Välillä 1,236 < t < 2 on kaksi
ratkaisua eli kaksi lieriötä. Ja kun t > 2, on yksi t:tä vastaava lieriö. (Helposti unohtaa, että alussa
äärettömän lattea lieriö r = 1, x = 0 ei kelpaa ratkaisuksi, vaikka se antaakin t:lle toisen arvon 2.)

Oikeassa ratkaisussa t pitää esittää käyttäen erinäisten välivaiheisen jälkeen toisen asteen
(tarkemmin sanoen ns. bikvadraattisen) yhtälön ratkaisukaavaa. Maksimikohta pitää ratkaista
derivoimalla lauseke tai käyttämällä hyväksi ratkaisukaavassa neliöjuuren alla esiintyvää lauseketta, yhtälön determinanttia D. Unohdetaan nyt sellaiset detaljit.

On myös paikallaan lisätä kuviot: leikkauskuva, kuvaaja lieriön pinta-alasta korkeuden funktiona
ja sen (oleellisesti) käänteisarvosta t. Ne olen piirtänyt mieleeni, ja sitten muistin virkistämiseksi
vapaalla kädellä paperille.

Tehtävä 7., lajimäärien lukumäärä saarilla on kiva.

Ja myös hyödyllistä tuntea periaate luonnon monimuotoisuuden kannalta. Luonnon
monimuotoisuudella on luonnosuojelullisen merkityksen lisäksi käytännöllinen merkitys: Yhden
lajin katoamisella voi olla yllättäviä seurausvaikutuksia sekä luontoon että meihin ihmisiin.

Seuraava on hyvä peukalosääntö: Maa-alueen pinta-alan kymmenkertaistuessa lajmäärä
kaksinkertaistuu. Ja alueen supistuessa kymmenesosaan lajimäärä puolittuu. Eli pyörein luvuin
ilmaistuna: alueen lajien lukumäärä on verrannollinen alueen pinta-alan kuutiojuureen.

Maa-alue voi olla saaren lisäksi esim. vuoren huippu: ekologisesti ne muodostavat saariston,
samoin erillään olevat niityt tai metsiköt. Myös suuret biotoopit noudattavat sääntöä. Alunperin
laimukaisuus havaittiin tutkittaessa tropiikin lintulajistoa: Samankokoisilla saarilla oli aina
jokseenkin sama lajien lukumäärä, vaikkakin eri lajit.

Parametrit eivät ole universaalisia eivätkä edes globaaleja.

7. Erään mallin (R. MacArthur & E. O. Wilson, 1967) mukaan saarella pesivien lintulajien
lukumäärä n riippuu saaren pinta-alasta likimain kaavan n = kAb mukaisesti, missä k ja
b ovat saaresta riippumattomia positiivisia vakioita.

a) Havaintojen perusteella kahdella Kanariansaarella on saatu seuraavat arvot:

n1 = 20, A1 =10,2 km (Alegranza),
n2 = 6, A2 = 0,0158 km eli 1,58 ha (Roque del Oeste).

Määritä näiden tietojen perusteella vakiot k ja b kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

b) Arvioi mallin avulla La Palman saarella (708 km2 ) pesivien lintulajien lukumäärää.

Tähän oli vielä mukana kuvat saarista, noin kevennykseksi.

Katsotaan, miten onnistuu kynällä ja paperilla. Jätämme desimaalisälän.

Muistamme, että x0,5 = x½ = √x, x 1/3 = x:n kuutiojuuri, x1/4 = x:n neljäs juuri jne. (Luvun x neljäs
juuri a on luku, joka täyttää ehdon a4 = x jne. Toisaalta esim 163/4 = luvun 16 4.s juuri 2 potensssin
3 = 23 = 8. Näin voidaan määritellä kaikki potenssit ab . misä a on positiivnen luku ja b mikä
tahansa reaaliluku. Sovittu vielä: 10 0 = 1 ja 10-1 = 1/10 = 0,1, 10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01 etc ad
infinitum.

Excelillä tehty kuva potenssifunktioista x0,4 , x0,3 ja ja x0,186 välillä 0 – 10. Muuttujan asteikkoa ei
saanut millään kuvaan.

Muistamme että nyt puhutaan koko ajan likiarvoista:

20/ 6 = 10/3 = (10,2 / 0,0158) k = 650 k (*). Nyt emme ole juuri hullua hurskaampia, mutta kun
merkitään x = 1/ k, niin lauseke (*) saadaan muoton

(10/3) x = 650. Pitää arvioida x.

Mutta (10/3) 2 = 100/9 = 11,1 , (10/3) 4 = 112 = 121 ja (10/3) 2 = 113 = 1221.
(10/3) 5 = 3,3∙121 = 400 (likimäärin)

x on xiis josain väillä 5 ja 6. Käytetään siis arvoa x = 5,5 ja siten k:lle saadaan arvo 1/5,5 = 0,18

Sitten pitää arvioida vakio a eli tasan yhden neliökilometrin kokoisen saaren lajiluku.

a = (1/10,2)0,18 ∙20 = 20/1,52 = 13,16

Ja sijoittamalla arvot Koirasaarten (Kanariansaarten) pääsaaren La Palman pina-alaan 708 km2 saadaan

n = 13,16 ∙ 700 0,18. 700 on mukavan lähllä arvoa 650 joten käytämme hyväksemme aikaisemmin laskettua ja saamme tulokseksi n = 13,16 ∙ 3,3 =

43,4. Pyöristäen saamme arvoksi 43 tai 44.

Otetaan laskin apuun ja saadaan tarkemmat arvot. Välivaiheet jätän väliin.

log (20/6) = k∙ log(10,2 / 0.0158)

k = log 3,3333 / log 645,570 = 1/5,364 = 0,18608 = 0,186

ja n:lle arvo 20/ 10,20,18608 = 20/ 1,5406 = 12,9822 = 13,0.

Laskuissa muuten pitää välivaiheissa pitää mukana ylimääräisiä desimaaleja. Muuten virheet kasaaantuvat. Itse vastaus annetaan pyydetyllä

tarkkuudella.

La Palman lintulajien lukumääräksi tulisi 13 ∙ 7080,186 = 13 ∙ 3,389 = 44.06 = 44.

Eli ihan kynällä, paperilla päässä olevien ajatusten voimalla pääsimme hyvin lähelle oikeaa vastausta.

Markku af Heurlin 18.12.2012