Markku af Heurlin: Geometrisiä ja mittausopillisia harjoituksia mielen virkistykseksi kaamoksen keskellä

Markku af Heurlin on ystävällisesti laatinut klubilaisille mielen virkistykseksi ylioppilaskoetehtävien tiimoilta muutamia geometrisiä harjoituksia  parempia hiihtokelejä odotellessa. 

 ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

”Älköön kukaan geometriaa taitamaton astuko sisään.”
 Kirjoitus Platonin Akatemian ovella.

Viime kevään ylioppilastutkinnosa oli muutamia kivoja geometrian tehtäviä, jotka periaatteessa pystyy ratkaisemaan aivan peruskoulun tiedoilla, kun vähän käytää hoksottimiaan. Geometria on siinä suhteessa mukava, että siinä selviää aika pitkälle piirtämällä ja mielikuvia käyttämällä. Lukiossa oli vielä minun kouluaikanani matematiikasta kaksi erillistä arvosanaa, toinen Albebrasta ja laskuopista, toinen Geometriasta ja mitttausopista. Jälkimmäisestä taisin saada päättötodistuksessa vain kahdeksikon.

Geometria yhdessä pienten lukujen aritmetiiikan harjoitusten kanssa antaa taitoa mieltää ja muodostaa oma perusteltu mielipide vaikkapa katsellesamme havaintokuvia ehdotetusta Kruunuvuoren sillasta tai muista kaupunkisuunnitelmista. Julkaistuissa kuvissa kun aina vain aurinko paistaa kuin Pjongjanissa.

Vastaus  tarkoittaa ongelman ratkaisemiseen käytettyä prosessia, ei siis yksinomaan mahdollista kysyttyä lukuarvoa, esim. annetun kolmion tarkkaa pinta-alaa. Matematiikan tehtävän vastaus on aina essee, vaikka ratkaisu esitetäänkin käyttäen hyväksi merkintöjen ja  kaavojen antamaa pikakirjoitusta.  Ratkaisuja voi olla useita, vaikka saatu lukuarvo olisikin yksikäsitteinen.

Kerran Tyttönorssisa opettaja Rolf Nevanlinna oli esittänyt yhden geometrian tehtävän vastauksen. Yksi oppilaista, tuleva kuvaamataidon opettaja viittasi , pyysi saada esittää omansa ja tuli taululle.  Opettaja kysyi kumpi ratkaisu oli oikeampi. Kukaan ei uskaltanut sanoa mitään,  jolloin Nevanlinna selvitti: ”Kumpikin ratkaisu on yhtä oikea, mutta neiti Simulan on paremmin piirretty.”

Ylioppilaskoetehtävät löytyvät mm. sivult: http://matta.hut.fi/matta/yoteht/

Suorakulmaisen kolmion kateettien laskeminen:

4. Laske oheisen kuvan suorakulmaisen kolmion ABC pinta‐alan tarkka arvo.

Kolmio on määritelty, kun tunnetaan kolme asiaa: kaikki sivut, kaksi sivua ja kulma tai kaksi kulmaa ja sivu. Tässä tapauksessa toinen sivu on piilotettu hypotenuusaan kertomalla miten kolmion korkeusjana jakaa hypotenuusan kahteen osaan.

Kuviosta näemme heti, että kolmion ABC kanta on 10 yksikköä. Mittaamalla toteamme sen korkeuden olevan noin 4,6 sm (yksikköä) Pinta-ala = kanta x korkeus / 2 on osapuilleen 23 pinta-alayksikköä.

Toinen tarkastelu, joka kannattaa heti tehdä on seuraavanlainen arvio, jonka johdannon voi sivuuttaa:

Pidetään mielessä seuraava: Jos kahdella kolmiolla on kaksi yhtä suurta kulmaa, niin kolmannetkin kulmat  ovat yhtäsuuret, ja kolmiot ovat yhdemuotoiset. Erityisesti: jos kahdella suorakulmaisella kolmiolla on yksi yhteinen kulma, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Ja jos kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoiset kolmannen kanssa, ne ovat yhdenmuotoiset keskenään. Tämä on vähän tylsää, mutta jotenkin joutuu sen aina perustelemaan itselleen.

Korkeusjana h jakaa ison suorakulmaisen kolmion kahteen pienempään sen kanssa yhdenmuotoiseen kolmioon. h on toisen lyhyt ja toisen pitkä kateetti. Tarkastelemalla  todetaan 3 < h < 7. Lähin veikkaus on näiden kahden keskiarvo (3+7)/2 = 5. Aika lähellä mitattua.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on kateettien tulo jaettuna kahdella. Käännämme vain kuvaa mielessämme ja toteamme toisen kateetin kolmion kannaksi.

Sitten ratkaisemaan. Merkitään kolmion ABC kateetteja x (pitkä) ja y (lyhyt):

Pythagoraan teoreeman mukaan:

1. x² + y²  = 10²  ja

2.  x² – 7² = h² = y² – 3²  eli

 
x² + y²  = 100  ja x²  –y²  = 40

Laskemalla yhtälöt yhteen saadaan  2x²  = 140 , mistä saadaan x² = 70 eli x = √70. Sijoittamalla ensimmäiseeen yhtälöön saadaan y = √30.

Kolmion pinta-alaksi saadaan xy/2 = √70 √30 / 2 = 5√21,  hyvin  tarkkaan 5∙4,58 =22,91 eli olimme joka tapauksessa alussa oikealla hehtaarilla. Itse asiassa tuo luku √21  on lukujen 3 ja 7 geometrinen keskiarvo eli niiden tulon neliöjuuri.

Laskimesta saatu √21:n  arvo 4,582575695 on vain hyvin tarkka likiarvo. Poikkeustapauksia, neliölukuja (1,4,9… ) ja murtolukujen neliöitä (esim. 6,25 = 2,5²) lukuunottamatta luvun neliöjuuren tarkkaa arvoa ei voi antaa desimaali- eikä murtolukuna. Ne ovat irrationaalilukuja, vastakohtana rationaaliluvuille, kokonais- ja murtoluvuille.

Irrationaallien voidaan kääntää sekä ei-suhdeluvuksi (ratio, suhde) tai sitten järjelle käsittämättömäksi. Irrationaalilukujen olemassaolo, toisella tavalla ilmaistuna neliön sivun (1) ja sen halkaisijan (√2) yhteismitattomuus oli pythagoralaiset murtanut hirvittävä totuus.

Huomataan myös, että asiallisesti tämä on peruskouluun oppimäärään kuuluvan kahden tuntemattoman lineaarisen yhtälön ratkaisun etsiminen, sillä yhtälöissä esintyy vain lukujen neliöitä, jotka voi halutessaan merkitä vaikka a = x²  ja b = y² . 

Keksin sitten toisen tavan ratkaista tehtävä etsimällä suoraan kolmion korkeus h tarvitsematta turvautua apumuuttujiin, kateetteihin x ja y. Tunsin siitä samanlaista tyydytystä kuin  Juhana Vartiainen löytäessään uuden palindromin ytimen. Enpä kerro enempää; paljon hauskempi löytää itse.

                            

Löydä tason ja koordinaattiakselin leikkauspiste

7. Pisteiden A(2,0,1) ja B(3,1,3) yhdysjanan keskipisteen kautta asetetaan taso, joka on

kohtisuorassa yhdysjanaa vastaan. Missä pisteessä tämä taso leikkaa y‐akselin?

Suora on joko kokoanan tasossa, kokonaan tason kanssa yhdensuuuntainen kokonaan tason ulkopuolella tai sitten leikkaa tason yhdessä pisteessä.  Tehtävänannosta voidaan olettaa, että on kyse viimeksimainitusta.

On myös hyvä yrittää mielessään hahmottaa xyz-avaruuden, jana AB ja sen keskinormaalitaso. Kavaljeeriperspektiivissä, tai oikeastaan sen muunnelmassa tulos on jotain tänmäntapaista:

Pisteiden yhdysjanan keskipiste on helppo laskea. Lasketaan koordinaatit kukin pareittain yhteen ja jaetaan kahdella. C = (2½, ½, 2).

Koordinaattiakseleiden leikkauspistettä , tasossa pistettä (0,0), avaruudessa pisettä (0,0,0) kutsutaan origoksi eli nollapisteeksi tai alkupisteeksi.  Sana suoraan latinan alkuperää, syntyperää tai kantaisää tarkoittavasta sanasta. Peccatum originale  tarkoitta perisyntiä.*

Aika iso osa lukijoista muistaa Helsingin Sanomien pakinoitsijanimimerkin Origon eli Jouni Lompolon (1936 – 2010). Erään Kotimaa-lehden, hänen pakinakokoelmansa Ankkurit alas takasivulle lainatun arvostelun mukaan: ”Origoa ei tosiaan voi pitää aikamme suurena eetikkona.”

Origosta enemmän mm. muistokirjoituksessa:

http://www.journalistiliitto.fi/journalisti/lehti/2010/10/memo/kuolleita/jouni_lompolo/

Hieman vektoreista:

Tämän kappaleen voi myös hypätä yli ja siirtyä myöhemmin esitettyyn yksinkertaisempaan ratkaisuun.

Vektori a on suure, jolla on suuruus ja suunta. Lämpötilalla ei ole suuntaa (lämpötilan muutoksella on) eikä kuljetulla matkalla absoluuttiarvona. Mutta on eri asia, ajanko tästä 160 km Turun vai Loviisan suuntaan.

Kolmiulotteisessa, meidän tuntemassamme avaruudessa on yleensä yksinkertaisinta käyttää suorakulmaista xyz-koordinaatostoa. Kantavekorit ovat i, j ja k, jotka ovat  x-, y- ja z-akselin suuntaisia yksikkövektoreita.

Ne muodostavat ortnormeeratun kannan, eli ovat keskenään kohtisuorassa ja yhden yksikön pituisia.  Kaikki avaruuden pisteet (tai vektorit) voidaan esittää yksikäsitteisesti näiden kolmen vektorin  sopivilla kertoimilla varustettuna summana eli lineaarikombinaationa. Vektoriin voi myös tarttua kuin nuoleen ja siirtää sitä sen suuntaa muuttamatta eri kohtiin avaruudessa.

Vapaasti liikuteltava vektori ja määrättyyn pisteeseen kulkeva paikkavektori menevät mielessä helposti sekaisin. Turha tehdä tästä itselleen eksistentiaalista ongelmaa, sillä emme ole nyt lineaarialgebran jatkokurssin tentissä. Peruskursilla ero ei täysin valjennut minulle, eikä monelle muullekaan.

Voimme käyttää myös vinoja koordinaatistoja, jotka ovat käytännöllisä mm. kideopissa. Käyräviivaiset koordinaatistot, kuten pallokoordinaatisto vuorostaan ovat parempia muissa yhteyksissä, esim. kuvaaman planeettojen liikkeitä avaruudessa.

Kantavektoreiden ei tarvitse olla yksikön suuruisia eikä koordinaattiakseleiden suuntaisia. Ortonormeerattu kanta vain yksinkertaistaa asioita pidemmissä tarkasteluissa.

Aakkoset eivät lopu z:aan, eikä meidän tarvitse tyytyä kolmeen ulottuvuuteen. Voimme hyvin konstruoida neli-, viisi- tai jopa ääretönulotteisen avaruuden.

Polynomit mm. nimittäin voidaan tulkita myös vektoreiksi ääretönulotteisessa avaruudessa. Niille voidaan jopa ns.vektoreiden pistetulon avulla määritellä keskinäinen kulma. Ortogonaalipolynomit, siis keskenään kohtisuorat polynomit – näistä tunnetuimmat ovat ns. Tshebyshevin polynomit – ovat tärkeä työkalu sekä puhtaassa että sovelletussa matematiikassa.

Polynomit (monomit) x ja x² voidaan tulkita toisiaan vastaan kohtisuoriksi,
sillä niiden tulon x³ peittämät alueet x-akselin ylä- ja alapuolella kumoavat toisensa.

Vektorit ovat kohtisuorassa, silloin kun niiden pistetulo (kertoimien parittaisten tulojen summa) on nolla. Sanotaan myös, että silloin pistetulo häviää, mikä ilmaisu hämmensi minua pitkään.

Esimerkkinä olkoot vektorit  a = i + 2j + 3k ja b = 4i + j – 2k . Niiden pistetulo siis on
1∙4 + 2∙1 +3∙(-2)  = 4 + 2 – 6 = 0. Eli vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Lukija voi tehdä itse harjoituksia ruutupaperilla tasossa, yksinkertaisimpana esimerkkinä vekorit  i + j ja i – j.

Pisteet A(2,0,1) ja B(3,1,3) yhdistää vektori p = (3-2)i + (1 – 0)j + (3-1) k =  i + j + 2k.

On löydettävä kaksi sen kanssa kohtisuoraa erisuuntaista vektoria. Niiden ei tarvitse olla kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lukija voi helposti laskea, että vektorit n₁ = i - j  ja n₂ = 2i – k  täyttävä ehdot - kirjain n sanasta normaali –  ja virittävät tämän normaalitaosn.

Jokainen normaalitason T piste n muotoa C + t∙ n₁  +u∙n₂ . Parametrit – sanalla on useita merkityksiä – kulkevat molemmat – äärettömästä + äärettömään ja niiden antamat pisteet kattavat siten kokonaan tämän yksikäsitteisen tason avaruudessa.

Sen jälkeen etsitään  sopivalla yhtälöparilla oikeat parametrit t ja u, joilla pisteen (x.y,z)  x -. j z –koordinaatit = 0. Piste D = (0,y,0) on vaadittu.

Suoraviivaista ja selkeää, mutta perin työlästä.

Ja taas Pythagoras!

Päätin  jättää  ongelman mielestäni, kunnes aivoihini välähtivät suuren Shakespearen sanat näytelmästä ”Kesäyön unelma”. Opittu joskus musiikkitunnilla Hämeenkylän kansakoulussa eli nyt lakkautettavassa Tuomelan koulussa:

                             Platon, Sokrates,

                             ylin Arstoteles.

                             Mittamies Pythagoras.
                             Haa!

Siis Pythagoras.

On etsittävä y-akselilta piste D = (0, y,0), siten että ACD muodostaa suorakulmaisen kolmion ja siis täyttää Pyrhagoraan lauseen ehdot:  hypotenuusan neliö  on kateettien neliöiden summa.

Sitten keksin vielä yksinkertaisemman tavan, joka perustuu seuraavaan: Janan keskinormaalilla (keskinormaalitasossa) olevat pisteet ovat yhtä kaukana  janan päätepisteistä. Ja kääntäen: jos piste on yhtäällä janan keskipisteistä, se on janan keskinormaalilla.

On siis löydetävä piste D(0,y,0) y-akselilla s.e. (siten,että)  janan AD pituus on sama kuin jana BD pituus.

Sovellamme Pythagoran lausetta kolmessa ulottuvuudessa: Olkoot suorakulmaisen särmiön sivut a , b ja c. Sen kahden vastakkaisen kärkipisteen välisen avaruuslävistäjän d neliö  on sivujen neliöden summa. Erityisesti kahden pisteen etäisyys on niiden parittain laskettujen x-, y- ja z –koordinaattien erotuksien neliöiden summa.

Lukija voi aikansa kuluksi etsiä suorakulmaisia särmiöitä, joiden sivut ja avaruuslävistäjä ovat kaikki kokonaislukuja. Lause voidaan yleistää usampaankin ulottuvuuteen, jos meidän oletaan liikkuvan euklidisessa avaruudeessa, jossa Pythagoraan lause pätee ja mm. kolmion kulmien summa on aina 180 astetta.

Janan AD pituuden neliö siis on AD ²  = (2-0)²  + (0-y) ²  + (1-0)²   = 2²  + y²  + 1²  = y²  + 5. Toisessa lausekkeessa  BD ² = (3-0)²  + (1-y) ²  + (3-0)²   esiintyy y:n neliö y²  ja 1. asteen termi. 

Lukija voi itse jatkaa. Neliöt supistuvat ja tulos on helposti laskettavissa. Voin kertoa, että  etsitty y on kymmentä pienempi kokonaisluku. Voi vaikka yrittää löytää kokeilemalla, mikä muuten ei ole hullumpi tapa ratkoa tehtävää.

Ratkaisu perustui lauseeseen, jonka todistan, koska todistus on lyhyt: Jos piste on yhtä kaukana janan päätepisteistä, se on janan keskinormaalilla.

Kuvion voi jokainen  piirtää mielessään tai tarvitaessa paperilla. Vasta lauseen todistus antaa sille mielessä todellisen sisällön. Kaikkea ei tosin ehdi eikä jaksa todistaa, vaan joskus on vain otettava lause ylhäältä annettuna.

Jos piste on janalla, se on janan keskipisteessä, jonka kautta keskinormaali määritelmän mukaan kulkee.

Olkoon piste P janan AB ulkopuolella s.e. AP = BP. Yhdistetään piste P janan keskipisteeseen, jota merkitään kirjaimella D. Tällöin kolmioiden APD ja BPD kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä, joten ne ovat yhteneviä. Jana PD jakaa oikokulman (180 asteen kulman) ADB  kahteen yhtäsuureen kulmaan, eli siis kahteen suoraan kulmaan.  P on siis janan AB keskinormaalilla. Q.E.D

Toinen ratkaisu:

Harrastin vähän lunttausta ja katsoin miten tehtävä oli ratkaistu mallivastauksessa:

Vektorin p =  i + j + 2k normaalitason yhtälö on hyvin yksinkertainen muodostaa. Tätä en tiennyt tai en ainakaan muistanut.  x + j +2z + d = 0.  Lukija voi vakuuttua asiasta tasossa toteamalla. että vetoria i + j  vastaan kohtisuorien suorien yhtälöt ovat muotoa x+y  =  0, ts. y = -x  + c.

Pitää vain etsiä  sellainen vakio d, että normaalitaso kulkee A:n ja B:n keskipisteen C kautta, sijoittmalla C:n koordinaatit tähän yhtälöön. Ja sitten sijoittaa saatuun tason yhtälöön x = z = 0.

Sokeri pohjalla: pallottelua

10. Oheisen kuution särmän pituus on 2. Sen sisällä on vaaleanpunainen pallo, joka sivuaa jokaista

kuution tahkoa. Kuution yhdessä kulmassa on pienempi sininen pallo, joka sivuaa

suurta palloa ja kolmea kuution tahkoa kuvion mukaisesti. Laske sinisen pallon säteen tarkka

arvo.

Kuvio auttaa paljon. Siitä voidaan mitata, että pienemmän sinisen pallon säde on 0,27 , kun punaisen ison pallon säde = 1. Mittaamme vain halkaisjat ja jaamme kahdella. Ylioppilaskoepaperissa yksikkö oli 1 senttimertin pituinen. Tässä kopioidussa kuviossa ei sama mittakaava säilynyt, mutta oleelista onkin halkaisijoiden suhde.

Seuraavaksi piirrämme leikkauskuvan pitkin pohjaneliön lävistäjää..  Pallon keskipiste on origossa ja sen etäisyyden neliö kärkipisteestä = (-1)²  + (-1)²  +(-1)²  =  1+ 1 +1 = 3. Origon etäsiyys kuution kärkipisteestä siis on √3. Kuution avaruuslävistäjän pituus taasen on 2√3.

Seuraavaksi piirrämme apukuvion, kuution leikkauksen pitkin päällimmäisen (ja samalla alimmaisen) tahkon halkaisijaa. Sen pituus on √2.

leikkauskuva. Suorakaiteen korkeus = 2, pohja = 2√2 ja

halkaisija = 2√3. Sääli, että ei tullut aivan suoraan.

Pienen pallon keskipisteen etäisyys kärkipisteestä = √3x  ja ison pallon säde = 1, joten pienen pallon säteelle x saamme yhtälön:

√3x  + x + 1 = √3 eli (√3 + 1) x = √3 -1. 

Siis x = (√3 -1) / (√3 + 1)

Periaatteessa vastauksen voi jättää tähän muotoon, mutta sievistetty muoto on yleensä elegantimpi:

x = 2 - √3 ≈ 0,27

Nyt olemme laskeneet  pallon säteen, Mutta miten  konstruoimme vaaditun pallon tai siis sen halkaisjaympyrän?

Katsomme leikkauskuvaa ja muistamme seuraavan: Kulman sisään piirettyjen ympyröiden keskipisteet ovat kulman puolittajalla. Pienen pallon keskipiste on kuvavsa näkyvän suorakaiteen  pohjan ja ison pallon tangentin  muodotataman kulman puolittajan ja suorakaiteen lävistäjän leikkauspisteessä.  Piirrämme vaaditun ympyrän, halkasijan ja suuremman ympyrän leikkauspisteen kautta. Ympyrä (pallo) on annettu, kun tiedetään sen keskipsite ja yksi kehäpiste tai vaihtoehtoisesti säde.

Kysytyn pallon säde on tämä väli, mutta en keksinyt toista tapaa sen arvon laskemiseen. Kuvittelin keksineeni sellaisen käyttäen hyyäksi yhtä mieleen juolahtanutta, siis päätäni pitkään vaivannutta, geometrian lausetta ja päädyin nerokkaaseen yhtölöön:

x/√3x = 1/√3 eli  <=>   1 = 1.

Merkki <=>  tarkoitta ekvivalenssia eli yhtäpitävyyttä

Miten neliöjuuri lasketaan?

Laskinta käytin vain kahden neliöjuuren likiarvon määrittelemiseen, eikä niitäkään vaadittu. Mutta tottumuksesta ja tarkistuksen vuoksi teen sen aina. Yleensä annan likiarvon koulussa opitun tavan mukaan kahden desimaalin tarkkuudella.

On parikin keinoa arvioida nelijuuren arvo kohtalaisen nopeasti ilman laskinta tai taulukkoja.

1.Interpolointi.

√16 = 4 ja √25 = 5, Näiden erotus = 1 toisaalta 25-16 = 9 ja 21-16 = 5 .
Kokeilemme arvoa 4 + 5/9 = 4,555…  Kuviosta näkyy, että tämä antaa alalikiarvon. Toisella tavalla sanottuna √x on konveksi (tai joissakin yhteyksissä antikonveksi) funktio.

2.       Iteraatio (lat. iteratio, toisto kertaus) Voi olla, että tule sanasta  iter, polku, mutta tämä on pelkkää arvailua, joskin helpottaa pitämään sanan mielesään.

Otetaan ensin lähin neliöluku eli kokonaisluvun neliö, tässä tapauksessa 25, jonka neliöjuuri on 5. Se olkoon ensimmäinen approksimaatio a₁ = 5. Seuraava saadaan

                                          a₂ = (a₁ + 21/ a₁) /2  = (5 + 4,2)/2 = 9,2/2 = 4,6

Tämä on ylälikiarvo,  aika lähellä oikeaa ja antaa käytännöllisiin tarkoituksiin yleensä riittävän tarkkuuden. Huomataan myös, että yhteenlaskettava 21/ a₁ <   √21. Keskiarvolla päästään tarkempaan likiarvoon.

Tähän voi lisätä, että pienillä murtoluvuilla laskeminen on yleensä nopeampaa kuin desimaaliluvuilla. Desimaalilukuhan on vain murtoluku, jonka nimittäjä on 10:n jokin potenssi. p:n kaksidesimaalinen likiarvo 3,14 = 314/100.

Toistamalla iteraatio saadaan kolmanneksi approksimaatioksi  a₃ = (4,6 + 21/4,6)/2 = 4,58261, joka eroaa oikeasta arvosta vasta viimeisessä desimaalissa.

Tämä menetelmä kaksinkertaistaa merkitsevät luvut jokaisessa askeleessa. Tietääkseni taskulaskimissa  ja tietokoneohjelmissa käytetään tätä algoritmia. Muistamme, että ne toimivat binäärimurtoluvuilla  0,8 = 4/5 = 100/101, mikä on taloudellisempaa. Vasta näytössä siirrytään desimaalilukuihin. Sekaannuksien välttämiseksi lihavointi tarkoittaa lukujen esittämistä binäärikannassa.

Oleellisesti samalla menetelmällä mutta työläämmin voidaan laskea myös luvun kuutiojuuri, neljäs juuri jne. Vielä vuonna 1975 ihminen saattoi kilpailla tietokoneen kanssa: Helsingin yliopiston teoreeettisen fysiikan laitoksella järjestettiin kilpailu, jossa hollantilainen matemaatikko ja tietokone laskivat satunnaisesti annetun 8-lukuisen numeron 13. juuren. Muistikuvani mukaan kumpikin käytti aikaa tehtävän likimäärin tunnin.

3.       On myös olemewasa eräänlainen jakokulmamenetemä, joka löytyy mm. Wikipediasta.  (http://fi.wikipedia.org/wiki/Neli%C3%B6juuri ) . Keskikoulussa se oli hauska oppia. Nyt se tuntuu turhan monimutkaiselta opetella uudestaan.

Ennen taskulaskimia lukujen juuret katsottiin taulukosta tai laskettiin logaritmitaulukkojen avulla. Samoin tehtiin kertolaskujen ja potenssiinkorotusten kanssa. Se opetti kaksi hyödyllistä taitoa: laskemaan ja olemaan laskematta. Eli miettimään asiat niin valmiiksi, että selvisi vähillä numeerisilla laskutoimituksilla.

 *Wikipediasta: Peccatum originale est peccatum, in doctrina Christiana, quod in Paradiso Adam et Eva fecerunt. Error eorum mortalitatem propter iram Dei commovi