Markku af Heurlin: Derivaatta ja integraali. Klubialustus 15.10.2014

Markku af Heurlin on ystävällisesti luovuttanut käyttöömme oheisen tarkastelun derivaatan ja integraalin ulottuvuuksista, jolla af kiusasi klubiväkeä alustuksellaan 15.10. Tekstin ja esimerkkien pureskelu antanee sopivan vastapainon lähitulevaisuudessa häämöttävälle toisenlaiselle ähkylle.

Derivaatta ja integraali – kaksi analyysin peruskäsitettä.

Käsitteet seuraavassa hyvin pelkistettyinä ja yksinkertaistettuina

Derivaatta on määritelty kaikille tarpeeksi siisteille jatkuville funktioille. Oikeastaan kaikille joita meidän eteemme tulee, mm. polynomi-, murto-, potenssi-, juuri- , eksponentti-, logaritmi- ja trigonometriset funktiot.

Esimerkki:

f(x) = x³.  Sen derivaattafunktio on 3x².

Derivaatta kuvaa funktion muutosnopeutta. Geometrinen tulkinta: kuvaajan tangentin kulmakerroin:

 
Positiivinen derivaatta – funktio kasvaa.

Negatiivinen derivaatta – funktio vähenee.

Mitä suurempi derivaatan itseisarvo, sitä jyrkemmin funktio kasvaa tai vähenee.

0-kohta (vaihtaa merkkiä) minimi tai maksimi. jos derivaatta ei vaihda merkkiä, niin kyseessä on ns. terassipiste.

Piste x = 0 on funktion y = x³  terassipiste:

Erityisesti: lineaarisen funktion (suoran) derivaatta on vakio eli suoran kulmakerroin k. Vakion derivaatta on identtisesti  0. Sanotaan myös, että derivaatta häviää, mikä ilmaisu hämmensi minua pitkään.

Voidaan yleistää kahden (x ,y) ja kolmen (x,y,z) muuttujan funktioihin, jolloin puhutaan osittaisderivaatoista. Funktion derivaatta on näistä kahdesta

(∂f/∂x, ∂f/∂y)  tai kolmesta osittais- derivaatasta muodostuva vektori.

(∂f/∂x,  ∂f/∂y,  ∂f/∂x) - ∂ on islannin kielen kirjain.

Kun ideaa aikoinaan opiskelin teoreettisen fysiikan matemaattisetn apuneuvojen kurssilla, luennoitsija selitti ihmisen olevan niin rajoittunut, että hän  voi ajatella vain yhtä asiaa kerrallaan, ja siis vain yhtä muuttujaa kerrallaan.

Tässä tapauksessa vektorifunktion (esim. painovoima- tai sähkökentän) toinen derivaatta onkin jo symmetrinen 3x3 –matriisi (symmetrinen,  vastakkaiset alkiot yhtäsuuria), josta käytetään joskus nimitystä tensori. Nimitys tulee kimmoteoriasta: Matriisin alkiot kuvaavat kimmoteoriassa pisteeseen (oikeastaan tilavuusalkioon) kohdistuvaa tensiota eli jännitystä  tai puristusta ja vääntöä.

Hieman raja-arvoista.

Ne ovat aivan selviö, kun ne osaa aivan selvinä ottaa.

Aloitetaan esimerkillä: Kulman sinin määritelmän muistamme keskikoulusta: suorakulmaisen kolmion kulman vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan.

Mikä on kulman 0 astetta sini? Taulukosta löytyy arvo 0. Mutta miten  voidaan puhua äärettömän teräväkulmaisesta suorakulmaisesta kolmiosta? Katsomme miten kulman sinin arvo lähestyy nolla, kun kulma pienenee ja lähesty nollaa ja sovimme, että 0 asteen kulman sini = 0.

Vastaavasti voimme ajatella käyrän f(x) tangenttia pisteessä (x,y).

Otetaan lähipiste (x+h, y(x+h), piirretään siitä sekantti eli leikkaaja pisteeseen (x,y). Tämä on aina määritelty, ja sillä on kulmakerroin. Hyvin pienellä h:n arvolla sekantin kulmakerroin lähestyy kiinteää raja-arvoa, joka on funktion derivaatta ko. pisteessä.

Funktion jatkavuus – lyhyesti, sen kuvaaja on katkamaton viiva - on välttämätön ehto sen derivoitavuudelle. Mutta vasta 1800-luvulla matemaatikot  Bolzano ja Weierstrass osoittivat, että on olemassa kaikkialla jatkuvia funktioita. joilla ei ole missään derivaattaa. Nämä ”äärettömän sahalaitaiset funktiot” ovat niitä kuuluisia fraktaaleja.

Paikkavektorin aikaderivaatta on nopeus ja sen toinen derivaatta eli derivaatan derivaatta nopeuden muutos eli kiihtyvyys.

Funktion f derivaatta merkitään yleensä f’ ja toinen derivaatta f’’, vaihtoehtoisesti df/dx tai joskus varsinkin kaavakirjoissa Df,
esim. Dsinx = cos x.

Derivaatta on esimerkki  funktionaalista  eli funktiosta, jonka argumentti (muuttuja) on joku funktio.

Funktioanalyysissä yritämme löytää  funktion maksimin tai minimin. Johtaa yhtälöön f’(x) = 0.

Funktiolla x³ – 3x on (lokaali) maksimi pisteessä -1 ja minimi pisteessä 1.

Käänteiskäsite - integraali

Määrätty integraali on toinen funktionaali, joka (oleellisesti) on määritelty kaikille jatkuville funktioille. Funktion f määrätty integraali a:sta b:hen on funktion kuvaajan sekä suorien x=a ja x = b rajoittama pinta-ala. x-akselin alapuolella oleva osuus tulkitaan negatiiviseksi pinta-alaksi.

Käyrän rajoittamaa pinta-alaa voidaan approksimoida ohuiden suorakaiteiden muodostamalla monikulmiolla, jonka pinta-ala on hyvin määritelty. Kun jakoa tihennetään, lopulta päädytään itse käyrän rajoittaman kuvion pinta-alaan.

   

                                                               

Funktion f määräämätön integraali tai integraalifunktio F(x) pelkistetysti seuraava: DF(x) = f(x) (esim. funktion x² integraalifunktio on 1/3x³ + C (vakio, constant)), sillä D (1/3x³ + C)= 3*1/3x² + 0 = x².

Pelkistetysti :  funktion derivaatan integraali = funktion integraalin derivaatta = funktio itse. Nämä kaksi siis ovat käänteisiä operaatioita. Vähän niin kuin kerto- ja jakolasku.

Summan derivaatta = derivaattojen summa, mutta koskaan tulon derivaatta ei ole derivaattojen tulo.

Summan integraali = integraalien summa, mutta koskaan tulon integraali ei ole integraalien tulo.

Integraali merkki ò, venytetty S on Leibnizilta ja lyhennys sanoista  summa omnia. Derivaatta tarkoittaa  johdannaisfunktiota (alkuperä latinasta de rivus). Kirjain d tulee sanasta differentia.

Differentiaaliyhtälössä, etsimme funktiota, joka toteuttaa funktiosta, sen derivaatoista sekä muuttujan funktioista muodostuvan yhtälön.

Yksinkertaisin differentiaaliyhtälö on muotoa y’ = y . Sen ratkaisu on eksponenttifunktioparvi y = Ce^x. Kun on annettu alkuehto, esim. y(0) = 1, funktio on yksikäsitteisesti määritelty, tässä tapauksessa y = e^x.

2. kertaluvun differentiaaliyhtälössä tarvitaan kaksi alku- tai reunaehtoa.

Yksinkertaisin 2. kertaluvun differentiaaliyhtälö on ns. harmoninen yhtälö:

   y’’ + y = 0

Sen ratkaisut ovat muotoa  y(x) = A sin x + B cos x , tai toisella tavoin ilmaistuna y = C sin(x+w) eli siis sinikäyrä. Tämä selittää osaltaan, miksi trigonometriset funktiot kummittelevat lähes kaikkialla matematiikassa ja fysiikassa. Myös paikoissa joissa niitä ei kuvittelisi tapaavansa.

Funktionaalianalyysi.
 

Funktionaalianalyysissä yritämme löytää funkiton, jolla jokin integraali saa minimin tai maksimin.  

Helppo esimerkki. Millä samanpiirisistä tasokuviosta on suurin pinta-ala? Ympyrällä

Klassinen esimerkki: mitä käyrää myöten kappale vapaasti liukuu nopeiten alas pisteestä (0,1) toiseen  pisteeseen (1,0). Johtaa 2. astuen differentiaaliyhtälöön, jonka ratkaisu on käännetty sykloidi.

Polkupyörän renkaan ulkoreunan piste muodostaa sykloidin, kun ajetaan pitkin tasaista tietä.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Sykloidi#mediaviewer/File:CycloidAnim04.gif

Tärkeimmät derivointi- ja integrointikaavat löytyvät taulukkokirjoista Hyvin usein integraalia ei voi esittää suljetussa muodossa alussa mainittujen ns. alkeisfunktioiden avulla, vaan on tyydyttävä sarjakehitelmään F(x) = a + bx² + cx³ +  …. (äärettömän monta yhteenlaskettavaa).

Taustaa ja infinitesimaaleista:

Differentiaali- ja integraalilaskennan kehittivät toisistaan riippumatta Leibniz (1646 – 1716) ja Newton (1643 – 1727) 1600–luvun lopulla. Heille tai kai enemmän heidän oppilailleen – en tunne asiaa tarkemmin - tuli ikävä prioriteettiriita siitä, kumpi oli keksinyt ajatuksen ensin.

Vastaus: ajatus oli ilmassa. Leibnizilla oli parempi ja selkeämpi notaatio ja termi, mm. juuri derivaatta ja integraali. Niitä käytetään.

Aikaisemmin analyysistä käytettiin ilmaisua infinitesimaalilaskenta, koska ajateltiin kyseessä olevan äärettömän pienillä, infinitesimaalisilla suureilla  (dx ja dy) laskemisesta. Tämä johti kuitenkin loogiseen ristiriitaan. Sitten 1800-luvulla analyysi saatettiin vakaalle pohjalle hyvin työläällä tavalla, ns. epsilon-delta menetelmällä.

Tämä oli alku topologialle, josta ensin käytettiin nimitystä analysis situs, paikan analyysi.

Se oli hyvin tylsää, pikkutarkkaa  matematiikkaa, mutta avasi sitten aivan uusia upeita matemaattisia maailmoja.  Kansainvälisesti merkittävää suomalaista matemaatikkoa, peripedanttia Ernst Lindelöfiä kutsuttiin epsilonherraksi.

Taas historian dialektiikkaa:

1966 saksalais-amerikkalainen aerodynaamikko, loogikko ja filosofi Abraham Robinson (1918 – 1974) julkaisi kirjan Non-standard analysis. Non-standardi analyysi perustui laajennettuihin hyperreaalisiin lukuihin, jotka sisälsivät myös infinitesimaalisia suureita. Ideaa on vaikea lyhyesti selittää. Yksinkertaistettuna hyperreaalinen luku on muotoa (a,bt, ct²,….) jossa t on ensimmäisen kertaluvun infinitesiaali. Hyvin työläällä tavalla Robinson pystyi rakentamaan koko analyysin tälle pohjalle.

Olen pitänyt Robinsonin kirjaa kädessäni joskus opiskeluni alkuaikoina. Ensi alkuun ajateltiin teoksen arvon olevan lähinnä siinä, että näin voidaan tehdä. Mutta kyllä myöhemmin tältä pohjalta kehitettiin uutta matemaattista teoriaa mm. Brownin liikkeestä, atomien törmäysten aiheuttamasta pienen pienten hiekanjyvästen minimaalisesta satunnaisesta liikkeestä. Tästä aiheesta on Helsingin yliopiston matematiikan laitoksella oma seminaarinsa.

Tietokoneessa ja laskimessa ^ tarkoittaa potenssiinkorotusta, Tekstissä yleensä käytetään yläindeksiä. Siis x^3 = x³.

                                                                                       Markku af Heurlin